Question

3．已知函数f（x）=ln x．
（1）求证：当0＜x＜1时，f（1+x）＜x-$\frac{{x}^{3}}{6}$；
（2）设g（x）=ax-（x+1）f（x+1），若g（x）的最大值不大于0，求a的取值集合；
（3）求证：（1+1）（1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…（1+$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＞${e}^{\sqrt{n}-\frac{2}{5}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）要证f（x+1）＜x-$\frac{1}{6}$x³（0＜x＜1），即证：ln（x+1）＜x-$\frac{1}{6}$x³（0＜x＜1），设u（x）=x-$\frac{1}{6}$x³-ln（x+1）（0＜x＜1），利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．
（2）g（x）=ax-（x+1）ln（x+1），令g′（x₀）=0，则x₀=e^a-1-1．g（x）_max=g（x）_极大值=g（x₀）=e^a-1-a，令a-1=x，则a=x+1，可得g（x）_max=e^x-（x+1），设h（x）=e^x-（x+1），再利用导数研究其单调性极值最值即可得出．
（3）要证明（1+1）（1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…（1+$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＞${e}^{\sqrt{n}-\frac{2}{5}}$（n∈N^*）．　即证：ln（1+1）+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{2}}）$+…+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{n}$-$\frac{2}{5}$，由（2）可知ln（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$，令x=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，当n≥3时，ln$（1+\frac{1}{\sqrt{n}}）$≥$\frac{1}{1+\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，代入利用“累加求和方法”即可证明．

解答 （1）证明：要证f（x+1）＜x-$\frac{1}{6}$x³（0＜x＜1），
即证：ln（x+1）＜x-$\frac{1}{6}$x³（0＜x＜1），设u（x）=x-$\frac{1}{6}$x³-ln（x+1）（0＜x＜1），
则u′（x）=-$\frac{x（x+2）（x-1）}{2（x+1）}$＞0，∴u（x）在（0，1）递增，即u（x）＞u（0）=0．
从而f（x+1）＜x-$\frac{1}{6}$x³（0＜x＜1）成立．
（2）解：g（x）=ax-（x+1）ln（x+1），
∴g′（x）=a-[1+ln（x+1）]，令g′（x₀）=0，则x₀=e^a-1-1．

x	（-1，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	单调递增	极大	单调递减

∴g（x）_max=g（x）_极大值=g（x₀）=a（e^a-1-1）-（a-1）e^a-1=e^a-1-a，令a-1=x，则a=x+1，∴g（x）_max=e^x-（x+1），
设h（x）=e^x-（x+1），则h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，则x=0．

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	单调递减	极小	单调递增

∴h（x）≥h（0）=0，从而有e^a-1-a≥0，
又∵g（x）_max=e^a-1-a≤0，∴e^a-1-a=0，即：a=1．
（3）证明：（1+1）（1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…（1+$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＞${e}^{\sqrt{n}-\frac{2}{5}}$（n∈N^*）．
　即证：ln（1+1）+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{2}}）$+…+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{n}$-$\frac{2}{5}$，
由（2）可知ln（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$，令x=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
当n≥3时，ln$（1+\frac{1}{\sqrt{n}}）$≥$\frac{1}{1+\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
∴ln（1+1）+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{2}}）$+…+ln$（1+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{n}$-1+ln2＞$\sqrt{n}$-$\frac{2}{5}$，
因此：（1+1）（1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…（1+$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＞${e}^{\sqrt{n}-\frac{2}{5}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质与解法、“放缩法”、“累加求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．