Question

20．设数列{a_n}的前n项和S_n，若$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4，且a_n≥0，则S₁₀₀等于（　　）

• A． 5048
• B． 5050
• C． 10098
• D． 10100

Answer 1

分析 根据题意推知数列{a_n}的通项公式是a_n=2n（n≥2），然后由前n项和公式进行解答即可．

解答 解：当n=1时，$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$=0，则a₁=0．
当n≥2时，$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4，①
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{（n-1）^{2}}$=4n-8，②
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$+$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{（n+1）^{2}}$=4n，③
由①-②得到：$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4，
∵a_n≥0，
∴a_n=2n，
由③-①得到：$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{（n+1）^{2}}$=4，
∴a_n+1=2n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差是2，
综上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0（n=1）}\\{2n（n≥2）}\end{array}\right.$，
∴S₁₀₀=S₁+S₂+S₃++…+S₁₀₀=0+$\frac{4+2×100}{2}$×（100-1）=10098．
故选：C．

点评 本题考查了数列求和．解题的关键是求得数列{a_n}的通项公式，在求该通项公式时，要分类讨论：n=1和n≥2两种情况，以防错解．