Question

19．若函数f（x）在区间[n，m]上恒有f（x）∈[$\frac{n}{k}$，km]成立，则称区间[n，m]为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间[$\frac{1}{t}$，t]（t＞0）为函数f（x）=x²-tx+t²的“2度约束区间”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． $（1，\root{3}{{\frac{3}{2}}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}}]$
• D． $（\sqrt{2}，2]$

Answer 1

分析 由x∈[$\frac{1}{t}$，t]，（t＞0），得：t＞$\frac{1}{t}$，由f（t）=t²-t•t+t²=t²≤2t得：t≤2，结合二次函数的性质求出t的范围即可．

解答 解：由题意得：$\frac{1}{2t}$≤x²-tx+t²≤2t对任意的x∈[$\frac{1}{t}$，t]，（t＞0）都成立，
由t＞$\frac{1}{t}$得：t＞1，
f（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{{t}^{2}}$-1+t²＞2-1=1＞$\frac{1}{2t}$，
由f（t）=t²-t•t+t²=t²≤2t得：t≤2，
∵t＞1，
∴f（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{{t}^{2}}$-1+t²＜1-1+t²=t²，
又f（x）=x²-tx+t²的对称轴是x=$\frac{t}{2}$，
由f（$\frac{t}{2}$）=$\frac{{3t}^{2}}{4}$≥$\frac{1}{2t}$，得：t≥$\root{3}{\frac{2}{3}}$，
由于$\root{3}{\frac{2}{3}}$＜1，
∴t的范围是（1，2]，
故选：A．

点评 本题考查新定义问题，考查学生的创新能力，解决问题的能力，是一道中档题．