Question

10．已知直线l经过点A（1，3），求：
（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）当直线过原点时，方程为 y=3x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，3）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程，
（2）设直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（a＞0，b＞0）$，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程．

解答 解：（1）若直线l的截距为0，则直线方程为y=3x；
若直线l的截距不为零，则可设直线方程为：x+y=k，由题设有1+3=k，所以直线方程为：x+y-4=0 
综上，所求直线的方程为3x-y=0或x+y-4=0．
（2）设直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（a＞0，b＞0）$，$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1$，而面积$S=\frac{1}{2}ab$，又由$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1$得　$1=\frac{1}{a}+\frac{3}{b}≥2\sqrt{\frac{1}{a}\frac{3}{b}}?ab≥12$ 
等号当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{3}{b}=\frac{1}{2}$成立，即当a=2，b=6时，面积最小为12
所求直线方程为3x+y-6=0

点评 本题考查了直线的截距式方程，利用基本不等式求最值，考查了分类讨论的数学思想方法等知识，是基础题．