题目内容
20.在△ABC中,已知B=60°,c=2,1≤a≤4,则sinC的取值范围是[$\frac{1}{2}$,1].分析 利用余弦定理求出b与a的关系,利用正弦定理推出sinC的表达式,然后求解范围.
解答 解:由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB=a2-2a+4,
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$,
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$,
∵1≤a≤4,$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$=$\sqrt{({a-1)}^{2}+3}$∈[$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$],
从而得到sinC的取值范围是:[$\frac{1}{2}$,1].
故答案为:[$\frac{1}{2}$,1].
点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式,考查了余弦定理和正弦定理的综合应用,属于中档题.
练习册系列答案
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C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |