Question

20．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|=6的直线l有（　　）条．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于6，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于6的线段．

解答 解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于6，
当直线与实轴垂直时，有4-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得y=±3，
∴此时直线AB的长度是6，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．
综上可知有三条直线满足|AB|=6，
故选C．

点评 本题考查直线与双曲线之间的关系问题，本题解题的关键是看清楚当直线的斜率不存在，即直线与实轴垂直时，要验证线段的长度．