Question

10．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）则a₈=21；若a₂₀₁₇=m²+2m+1，则数列{a_n}的前2015项和是m²+2m（用m表示）．

Answer 1

分析 由题意和特征方程可得a_n=C₁x₁ⁿ+C₂x₂ⁿ，由已知数据解方程组可得C₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，C₂=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得a_n，代值计算可得a₈，迭代法可得a_n+2=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，可得S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1，代值计算可得．

解答 解：由题意“斐波那契数列”是一个线性递推数列．
线性递推数列的特征方程为：x²=x+1，
解得 x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，则a_n=C₁x₁ⁿ+C₂x₂ⁿ，
∵a₁=1，a₂=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}{C}_{1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}{C}_{2}}\\{1=（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{1}+（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{2}}\end{array}\right.$，
解得C₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，C₂=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴a_n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，
∴a₈=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）⁸-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）⁸]=21，
∵a_n+2=a_n+a_n+1=a_n+a_n-1+a_n
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-1
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-2
=…
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，
∴S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1=m²+2m．
故答案为：21；m²+2m．

点评 本题考查数列的递推公式，由特征方程得出系数是解决问题的关键，属中档题．