Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角所在平面互相垂直，F为BC的中点，,AE∥CD,.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF，
又∵EA，∴EAPF，……………………2分
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵面平面，
∴AF∥面BDE.…………………………………………4分
（Ⅱ）以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系.…………………5分
由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）
则.………………………6分
∵面面，面面，∴面
∴是面的一个法向量.………………………………8分
设面的一个法向量n=(x,y,z),则n，n.
∴即整理，得令，则
所以n=(1,1,2)是面的一个法向量.……………………………10分
故.
图形可知二面角的平面角，所以其余弦值为.

略