Question

12．如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A．B，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）在（1）的条件下，求$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；
（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐标运算，求得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．

解答 解：（1）由条件知lAB：y=x-$\frac{p}{2}$，
则 $\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y得：x²-3px+$\frac{1}{4}$p²=0，则x₁+x₂=3p，
由抛物线定义得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y²=4x．
（2）直线l的方程为：y=x+$\frac{p}{2}$，于是设N（x₀，x₀+$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则$\overrightarrow{NA}$=（x₁-x₀，y₁-x₀-$\frac{p}{2}$），$\overrightarrow{NB}$=（x₂-x₀，y₂-x₀-$\frac{p}{2}$）
即$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+${{x}_{0}}^{2}$+y₁y₂-（x₀+$\frac{p}{2}$）（y₁+y₂）+（x₀+$\frac{p}{2}$）²，
由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
且y₁+y₂=x₁+x₂-p=2p，y₁y₂=（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）=-p²，
则$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=2${{x}_{0}}^{2}$-4px₀-$\frac{3}{2}$p²=2（x₀-p）2-$\frac{7}{2}$p²，
当x₀=$\frac{p}{2}$时，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的最小值为-$\frac{7}{2}$p²．

点评 此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算．