Question

13．已知函数$y=3（sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}）$．
（1）求该函数的最小正周期；
（2）求该函数的单调递减区间；
（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析 （1）由已知利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，可得函数的单调递减区间．
（3）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．

解答 解：（1）∵$y=3（sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}）$=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
（3）列表：

x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
2x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	3	0	-3	0

描点、连线如图所示：

点评 本题主要考查三角函数的图象的作法，考查了正弦函数的单调性，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．