Question

12．已知函数f（x）=2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）设g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（Ⅱ）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）化简g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos²x-1=cos2x，∴f（$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）函数f（x）=2cos²x-1=cos2x 的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅲ）∵g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x=cos2（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故g（x）的值域为[-2，2]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的值域，属于基础题．