题目内容
【题目】为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：
组别 |
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频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分
服从正态分布
，
近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求
；
（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元） | 20 | 40 |
概率 |
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现市民小王要参加此次问卷调查，记
（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.
附：①
；
②若
，则
，
，
.
【答案】（Ⅰ）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；
（Ⅱ）X的分布列为
X | 20 | 40 | 60 | 80 |
P |
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X的数学期望为
．
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式求得其平均数，即正态分布对应的
，再利用数据之间的关系，
，利用题中所给的数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求得对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各占一半，再结合得20、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而列出分布列，之后应用离散型随机变量的分布列求得其期望.
（Ⅰ）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得
,
又
,
,
所以P（36＜Z≤79．5）
;
（Ⅱ）根据题意,可以得出所得话费的可能值有
元,
得20元的情况为低于平均值,概率
,
得40分的情况有一次机会获40元,2次机会2个20元,概率
,
得60分的情况为两次机会,一次40元一次20元,概率
,
得80分的其概况为两次机会,都是40元,概率为
,
所以变量X的分布列为:
X | 20 | 40 | 60 | 80 |
P |
|
|
|
|
所以其期望为
.
