题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是
、
,并且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与圆
:
相切,并与椭圆
交于不同的两点
、
.当
,且满足
时,求
面积
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设出椭圆方程,根据题意列方程组,求出待定系数的值;(2)可设直线方程为,根据其与圆相切可得
,联立方程组
可得
,根据韦达定理求出
和
,
,所以整理可得
,根据向量数量积的定义可得
,换元设
,则
,最后再根据均值不等式求出
面积
的取值范围.
试题解析:(1)设椭圆方程为,
由条件有解得
,
.
∴椭圆的方程为:
.
(2)依题结合图形知直线的斜率不为零,
∵直线即
与圆
:
相切,
∴得
.
设,
,
由
消去整理得
,
得.
又,点
到直线
的距离
,
∴
,
.
,令
,则
,
∴,
∴,∴
的取值范围为:
.
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