Question

【题目】如图，且，，且，且，平面，.

（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）.

【解析】

（1）根据题意,建立空间直角坐标系,只需证明与平面的法向量垂直,即可证明平面.

（2）分别求平面的法向量和平面的法向量,即可求得二面角的正弦值.

解：依题意,可以建立以为原点,

分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系（如图）,

可得,,,,,

,,,.

（1）证明:依题意,．

设为平面的法向量,

则,即,

不妨令,可得．

又,可得,

又因为直线平面,

所以平面.

（2）依题意,可得,,.

设为平面的法向量,

则,即,

不妨令,可得．

设为平面的法向量,

则,即,

不妨令,可得．

因此有,于是.

所以,二面角的正弦值为.