Question

16．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），且离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A、B为椭圆的两点，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，求直线AF₁的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），且离心率e=$\frac{1}{2}$，列方程组求出a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，由此能求出椭圆方程．
（2）延长AF₁交椭圆B′，由对称性可知$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，设直线AF₁：y=kx+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+4）x²+6kx-9=0，由此利用韦达定理能求出直线AB的斜率．

解答 解：（1）由题意知$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，
又a²=b²+c²，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1
故所求的椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1…．（6分）
（2）延长AF₁交椭圆B′，
由对称性可知$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，
设A（x₁，y₁），B′（x₂，y₂），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，∴x₂=-2x₁①
当直线AB′斜率不存在时，不符合
当直线AB′斜率存在时，设直线AB的斜率为k，
又F₁（0，1）∴直线AF₁：y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0
∴x₁+x₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$，②
x₁x₂=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$，③
由①②③得k=±$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
故直线AB的斜率为±$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$…（12分

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．