Question

4．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，$A=\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）当$b=\sqrt{3}$，求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围B∈（0，$\frac{5π}{6}$），可求B的值，进而可求C的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理，基本不等式可求1≥bc，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1，A=$\frac{π}{6}$，b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B∈（0，$\frac{5π}{6}$），
∴B=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，或$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵a=1，A=$\frac{π}{6}$．
∴由余弦定理可得：
a²=b²+c²-2bccosA
即1=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc=（2-$\sqrt{3}$）bc，
所以bc≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$（当且仅当b=c=1时等号成立）
∴S_ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，（当且仅当b=c=1时等号成立），即△ABC面积最大值$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．