[题目]已知为圆上的动点.点在圆的半径上运动.点在上.且满足.其中.(1)求点的轨迹方程,(2)设不过原点的直线与点的轨迹交于两点.且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知为圆上的动点，点在圆的半径上运动，点在上，且满足，其中.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义判断出点的轨迹是以点为焦点，求得的值，进而求得点的轨迹方程.

（2）设出直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和点的轨迹方程，消去化简并令其判别式大于零.将线段中点代入直线的方程，求得的关系式，并由此求得的取值范围.求得弦长的表达式，求得点到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形面积的取值范围.

（1）由题意是线段的垂直平分线，

点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

，故点的轨迹方程是

（2）设直线的方程为，由题意知，则直线的方程为.

联立消去，得

①

将线段的中点坐标代入，得②

由①②得或，

令，则.转化为，也即.转化为.则，且到直线的距离为.

设的面积为，

当且仅当时，等号成立，此时满足

故面积的取值范围为.

练习册系列答案

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人，并从中选出3人，求这3人中至少有1人来自第4组的概率．

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【题目】已知函数.

（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；

（2）设数列，其前项和为，证明：.

【题目】如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.

（1）求二面角的大小；

（2）求异面直线与的距离；

（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

【题目】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名如下：

某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.

国家	金牌	银牌	铜牌	奖牌总数
中国	133	64	42	239
俄罗斯	51	53	57	161
巴西	21	31	36	88
法国	13	20	24	57
波兰	11	15	34	60
德国	10	15	20	45

（1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？

（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为

，求

的分布列和期望；

（3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.

【题目】已知为常数，函数

（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求；

（2）令，若函数在区间上是单调减函数，求的取值范围.

【题目】已知抛物线经过点，过A作两条不同直线，其中直线关于直线对称.

（1）求抛物线E的方程及其准线方程；

（2）设直线分别交抛物线E于两点（均不与A重合），若以线段为直径的圆与抛物线E的准线相切，求直线的方程.

【题目】已知函数.

（1）求证：当时，；

（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.

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