Question

【题目】已知函数.

（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；

（2）设数列，其前项和为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1），分，，三种情况推理即可；

（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.

（1）由，得.

当时，方程的，因此在区间

上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.

又，所以函数在区间上恒成立；

当时，方程有两个不等实根，且满足，

所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间

上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；

当时，在区间上，函数在区间

上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；

综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.

（2）由第（1）知：若时，.

若，则，

即成立.

将换成，得成立，即

，

以此类推，得，

，

上述各式相加，得，

又，所以.