Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.

（1）求二面角的大小；

（2）求异面直线与的距离；

（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，由此求得其大小.

（2）求得异面直线与的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线与的距离.

（3）根据求得点的坐标，设出点的坐标，根据、与平面的法向量垂直列方程组，解方程组求得点的坐标，由此判断出存在点符合题意.

（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，，

则底面，

故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为

取，可得

又平面的一个法向量为

由图知二面角为锐角，故二面角的大小为.

（2）异面直线与的公垂线的方向向量，则

易得，异面直线与的距离

（3），而

又，点的坐标为

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为

平面为平面的一个法向量，

由，得.

又平面，

故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点.