Question

设函数f(x)＝ax3－3x2 (a∈R)，且x＝2是y＝ f(x)的极值点．

(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；

(2)求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．

Answer 1

解　(1)f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，

因此a＝1.

经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．

所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

所以y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；

单调减区间是(0,2)．

(2)g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex，

因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)，(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)，(0，)．