Question

已知函数f（x）=|lnx|，若存在三个不相等的正数a、b、c使得

f(a)

a

=

f(b)

b

=

f(c)

c

=k，则k的取值范围为（　　）

• A、（e，+∞）
• B、（

  1

  e

  ，+∞）
• C、（0，e）
• D、（0，

  1

  e

  ）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：构造方程f（x）=kx，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：根据题意可知方程f（x）=kx有三个不相等的正实根，a，b，c，
作出函数f（x）的图象如题：
设过原点与函数y=lnx的图象相切的切线为l，切点为P（m，n），
则f′(x)=

1

x

，即切线斜率k=f′(m)=

1

m

，
则切线方程为：y-lnm=

1

m

（x-m），
当x=0，y=0时，-lnm=

1

m

×（-m）=-1，解得m=e，
即切线的斜率为

1

e

，
即k的取值范围是（0，

1

e

），
故选：D．

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用图象解决函数零点问题，综合性较强．