Question

OA，

OB

的夹角为θ，|

OA

|=2，|

OB

|=1，

OM

=k

OA

，

ON

=（1-k）

OB

，|

MN

|=f（k）在k=k₀时取得最小值，若0＜k₀＜

2

7

，则θ的取值范围是（　　）

• A、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ）
• B、（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ）
• C、（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ）
• D、（

  π

  3

  ，π）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：由向量的运算可得∴|

MN

|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

2

7

，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．

解答： 解：由题意可得

OA

•

OB

=2×1×cosθ=2cosθ，

MN

=

ON

-

OM

=（1-k）

OB

-k

OA

，
∴|

MN

|²=

MN

2=（1-k）²

OB

2+k²

OA

2-2k（1-k）

OA

•

OB

=（1-k）²+4k²-4k（1-k）cosθ
=（5+4cosθ）k²+（-2-4cosθ）k+1，
由二次函数知当上式取最小值时，k₀=

1+2cosθ

5+4cosθ

，
由题意可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

2

7

，解得-

1

2

＜cosθ＜

1

2

，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

．
故选C．

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和余弦函数的单调性，属于中档题．