Question

19．给出下列结论：
①设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则α⊥β是a⊥b的必要不充分条件．
②在区间[-1，1]上随机取一个数x，则cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之间的概率为$\frac{1}{3}$
③从以正方体的顶点连线所成的直线中任取两条，则所取两条直线为异面直线的概率为$\frac{29}{63}$
④将4个相同的红球和4个相同的篮球排成一排，从左到右每个球依次对应的序号为1，2，3，…，8，若同色球之间不加区分，则4个红球对应的序号之和小于4个蓝球对应的序号之和的排列方法种数为31．
其中正确结论的序号为②③④．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质判断①；由于函数cos$\frac{πx}{2}$是一个偶函数，故可研究出cos$\frac{πx}{2}$πx的值介于0到0$\frac{1}{2}$之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式求解概率判断②；意，首先由正方体的结构特征，可得从正方体的8个顶点中任取2个顶点，可以确定28条直线，再由组合数公式可得一共可以得到有C₂₈²组直线，进而分类讨论其中直线异面的情况，可得异面直线的组数，由等可能事件的概率公式，计算概率判断③；根据题意，假设有8个位置来安排8个球，其序号分别为1、2、3、…8，在8个位置中取出4个，安排红球，剩余的安排蓝球，由组合数公式计算可得红球与蓝球的安排方法数目，在所有的安排方法中，有3种情况：红球对应序号之和等于蓝球对应序号之和的排列方法数目；红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目；红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目，而红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目与红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目相等，只需用列举求出红球对应序号之和等于蓝球对应序号之和的排列方法数目，由三者的关系计算判断④．

解答 解：对于①，∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故①错误；
对于②，由于函数cos$\frac{πx}{2}$是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之间的概率在区间[0，1]上随机取一个数x，
即x∈[0，1]时，要使cos$\frac{π}{2}$x的值介于0到$\frac{1}{2}$之间，需使$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{2}$πx≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2}{3}$≤x≤1，区间长度为$\frac{1}{3}$，故②正确；
对于③，从正方体的8个顶点中任取2个顶点，有C₈²=28种取法，即可以确定28条直线，从这28条直线中，任取2条，有C₂₈²种取法，即可以确定C₂₈²组直线，
其中异面的情况有：棱与棱异面：每条棱有4条棱与其异面，共有情况$\frac{1}{2}$×12×4=24组；棱与面对角线异面：每条棱有6条面对角线与其异面，共有情况12×6=72组；棱与体对角线异面：每条棱有2条体对角线与其异面，共有情况12×2=24组；面对角线与面对角线异面：每条面对角线与5条面对角线异面，共有情况$\frac{1}{2}$×12×5=30组；面对角线与体对角线异面：每条面对角线与2条体对角线异面，共有情况12×2=24组，则异面直线的组数为24+72+24+30+24=174组，
所取的2条成一对异面直线的概率为$\frac{174}{{C}_{28}^{2}}$=$\frac{29}{63}$，故③正确；
对于④，根据题意，假设有8个位置来安排8个球，其序号分别为1、2、3、…8，在8个位置中取出4个，安排红球，剩余的安排蓝球，有C₈⁴=70种方法，
其中4个红球对应序号之和等于4个蓝球对应序号之和的排法有：红球占3、4、5、6四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占1、2、7、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占1、3、6、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占2、4、5、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占1、4、5、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占2、3、6、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占2、3、5、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置；红球占1、4、6、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置，共8种情况，在剩余的62种情况中，红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目与红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目相等，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为62÷2=31种，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了古典概型与几何概型概率计算公式，是中档题．