Question

10．如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，A₁C₁⊥B₁D，BC=1，AD=AA₁=3．
（Ⅰ）证明：平面ACD₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）（1）求点B₁到平面ACD₁的距离；
（2）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）利用直棱柱的性质可得：BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可得出．
（Ⅱ）（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设AC∩BD=O，设OC=a，OB=b，由AD∥BC，AD=3，BC=1．可得OA=3a，OD=3b．则a²+b²=1，b²=3a•a．设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．可得点B₁到平面ACD₁的距离=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$．
（2）设直线B₁C₁与平面ACD₁所成角为θ，可得sinθ=|$cos＜\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$．

解答 （Ⅰ）证明：由直棱柱的性质可得：BB₁⊥平面ABCD；AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC，
又A₁C₁⊥B₁D，∴AC⊥BD，
又BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面B₁BDD₁；
又AC?平面ACD₁，∴平面ACD₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD=O，设OC=a，OB=b，∵AD∥BC，AD=3，BC=1．
则OA=3a，OD=3b．
则a²+b²=1，b²=3a•a，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{|AC{|}^{2}-|BC{|}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴C（$\sqrt{3}$，1，0），A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，3），D₁（0，3，3），
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，3），
设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{3y+3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
∴点B₁到平面ACD₁的距离=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
（2）设直线B₁C₁与平面ACD₁所成角为θ，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0）．
∴sinθ=|$cos＜\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角与空间距离、线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．