Question

9．已知函数f（x）=ax²-4ax-lnx，则f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是（　　）

• A． a∈（-∞，$\frac{1}{6}$）
• B． a∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$）
• D． a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为函数f（x）=ax²-4ax-lnx与x轴在（1，3）有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．

解答 解：f′（x）=2ax-4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-4ax-1}{x}$，
若f（x）在（1，3）上不单调，
令g（x）=2ax²-4ax-1，
则函数g（x）=2ax²-4ax-l与x轴在（1，3）有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时，只需$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6a}^{2}+8a≥0}\\{g（1）g（3）＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．