Question

17．设数列{a_n}前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-1（n∈N*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S_n+1）≥2n-9恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项，利用a_n=S_n-S_n-1，求解数列的通项公式．
（2）由k（S_n+1）≥2n-9，整理得k≥$\frac{2n-9}{2^n}$，令${b_n}=\frac{2n-9}{2^n}$，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围．

解答 解：（1）令n=1，S₁=2a₁-1=a₁，解得a₁=1．…（2分）
由S_n=2a_n-1，有S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，
化简得a_n=2a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为2 的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}={2^{n-1}}$．…（6分）
（2）由k（S_n+1）≥2n-9，整理得k≥$\frac{2n-9}{2^n}$，
令${b_n}=\frac{2n-9}{2^n}$，则${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2n-7}{{{2^{n+1}}}}-\frac{2n-9}{2^n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}$，…（8分）
n=1，2，3，4，5时，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}＞0$，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＜b₅．…（10分）
n=6，7，8，…时，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}＜0$，即b₆＞b₇＞b₈＞…
∵b₅=$\frac{1}{32}$＜${b_6}=\frac{3}{64}$，
∴b_n的最大值是${b_6}=\frac{3}{64}$．
∴实数k的取值范围是$[\frac{3}{64}，\;\;+∞）$．…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列与函数相结合，考查构造法以及函数的单调性的应用，考查计算能力．