题目内容
20．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，则实数a的取值范围为（-3，1）．分析 f′（x）=x2+2x-3=（x+3）（x-1），分别令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，得到函数f（x）的单调区间，要使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解出即可得出．
解答 解：f′（x）=x2+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1，令f′（x）＜0，解得-3＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），减区间为（-3，1）．
所以要使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，
只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜1}\\{a≥-5}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜1，
故答案为：（-3，1）．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
11．若cos（$\frac{π}{2}$+φ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则cos（$\frac{3π}{2}$-φ）+sin（φ-π）的值为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | -$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D． | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
15．已知α是第三象限角，tan（2π-α）=-$\frac{5}{12}$，则sinα等于（ ）
| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | -$\frac{1}{5}$ | C． | -$\frac{5}{13}$ | D． | $\frac{5}{13}$ |
5．若函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，x＞0时，f（x）单调递增，P=f（-π），Q=f（e），$R=f（\sqrt{2}）$，则P，Q，R的大小为（ ）
| A． | R＞Q＞P | B． | Q＞R＞P | C． | P＞R＞Q | D． | P＞Q＞R |
12．已知b＞1，直线（b2+1）x+ay+2=0与直线x-（b-1）y-1=0互相垂直，则a的最小值等于（ ）
| A． | $2\sqrt{2}-1$ | B． | $2\sqrt{2}+1$ | C． | $2\sqrt{2}+2$ | D． | $2\sqrt{2}-2$ |
9．集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|-1≤x≤2}，则A∪B=（ ）
| A． | {x|-1≤x≤3} | B． | {x|0≤x≤2} | C． | {x|-1≤x＜3} | D． | {x|0＜x≤2} |