Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，H、F分别为AB、CC₁的中点，各棱长都是4.

(1)求证CH∥平面FA₁B.

(2)求证平面ABB₁A₁⊥平面FA₁B.

(3)设E为BB₁上一点，试确定E的位置，使HE⊥BC₁.

Answer 1

在正三棱柱中，∵H为AB中点，∴CH⊥AB，过H作HM⊥AB交A₁B₁于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(－2,0,0)，A₁(－2,0,4)，C₁(0，2，4)．

(1)证明：∵＝(0,2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－2，2，2)，∴＝(－)，

∵与不共线，∴∥平面FA₁B，

∵HC⊄平面FA₁B，∴HC∥平面FA₁B.

(2)证明：平面ABB₁A₁的一个法向量为n₁＝＝(0,2，0)，

设平面FA₁B的一个法向量n＝(x，y，z)，则

令x＝1得n＝(1,0,1)，

∵n·n₁＝0，∴n⊥n₁，∴平面ABB₁A₁⊥平面FA₁B.

(3)∵E在BB₁上，∴设E(2,0，t)，(t>0)，则＝(2,0，t)，＝(－2,2，4)，∵HE⊥BC₁，

∴·＝－4＋4t＝0，∴t＝1，

∴E是BB₁上靠近B点的四等分点(或BE＝BB₁)．