Question

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，

∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，

由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝，∴AC⊥CD.

又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，

∴平面PAC⊥平面PCD.

(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．

∵∥，

∴y·(－1)－2(z－1)＝0①

∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，

又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴⊥.

∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.

将y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中点，

∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.