Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_na_n+1=2ⁿ，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀．

Answer 1

分析 由题意可推出数列{a_n}的所有奇数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所有偶数项是以1为首项，2为公比的等比数列；从而解得．

解答 解：∵a₁=2，a₁a₂=2¹，∴a₂=1，
∵a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
∴数列{a_n}的所有奇数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
所有偶数项是以1为首项，2为公比的等比数列；
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{1（1-{2}^{10}）}{1-2}$
=3•（2¹⁰-1）=3×（1024-1）=3069．

点评 本题考查了等比数列等差数列的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．