Question

18．在△ABC中，已知sinC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，试判断三角形的形状．

Answer 1

分析 在△ABC中，结合已知条件和正弦定理推知c（cosA+cosB）=a+b，再由余项定理得到：c•$\frac{c2+b2-a2}{2bc}$+c•$\frac{a2+c2-b2}{2ac}$=a+b，联立可以得到c²=a²+b²，故△ABC为直角三角形．

解答 解：∵sinC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
由正弦定理得c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理得c•$\frac{c2+b2-a2}{2bc}$+c•$\frac{a2+c2-b2}{2ac}$=a+b，
∴a³+a²b-ac²-bc²+b³+ab²=0
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，
∴c²=a²+b²，
∴△ABC为直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．