Question

已知函数f（x）=kx-e^x（k∈R），g（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-e^x在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）（只理科生做）求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=k-e^x，x∈R，对k分类讨论即可得出．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）-e^x在区间（0，+∞）上恒成立，则kx≥

lnx

x

，可得k≥

lnx

x2

．令h（x）=

lnx

x2

，则不等式f（x）≥g（x）-e^x在区间（0，+∞）上恒成立?k≥h（x）_max．利用导数研究函数的单调性即可得出．
（III）由（Ⅱ）知：

lnx

x2

≤

1

2e

，

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

，（x≥2）．令x=n，则

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

(

1

n-1

-

1

n

)．
“累加求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=k-e^x，x∈R，∴f′（x）=0得e^x=k．
当k≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；
当k＞0时，令f′（x）=0得x=lnk
由f′（x）＞0的f（x）的单调递增区间为（-∞，lnk）；
由f′（x）＜0的f（x）的单调递减区间为（lnk，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）-e^x在区间（0，+∞）上恒成立，则kx≥

lnx

x

，可得k≥

lnx

x2

．
令h（x）=

lnx

x2

，则不等式f（x）≥g（x）-e^x在区间（0，+∞）上恒成立?k≥h（x）_max．
令h′（x）=

1-2lnx

x

=0，解得x=

e

．
列表如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：当x=

e

时，函数h（x）有极大值即最大值，且h(

e

)=

1

2e

．
因此k≥

1

2e

．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：

lnx

x2

≤

1

2e

，∴

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

，（x≥2）．
令x=n，则

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

(

1

n-1

-

1

n

)．
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

2e

(1-

1

n

)＜

1

2e

．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．