Question

焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为

π

3

，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设焦点在x轴上的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），由c=6，得到a²+b²=36．再由渐近线方程，运用夹角公式，得到a，b的方程，解得即可得到双曲线方程和离心率．

解答： 解：设焦点在x轴上的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）
则渐近线方程为y=±

b

a

x，2c=12，即c=6，即有a²+b²=36．①
它的两条渐近线的夹角为

π

3

，则有tan

π

3

=|

2b a

1- b2 a2

|，
即有2ab=±

3

（a²-b²）．②
由①②解得，a=3

3

，b=3或a=3，b=3

3

，
则双曲线的方程为

x2

27

-

y2

9

=1及离心率e=

c

a

=

2 3

3

，
或

x2

9

-

y2

27

=1，e=2．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．