Question

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间

(2)若存在,使得成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)当 a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，当a＞﹣1时，在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；(2) （﹣∞，﹣2）∪（，+∞）.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并因式分解得，按 分类讨论导函数符号变化规律，即得函数单调区间 （2）先将存在性问题转化为函数最值问题，即 ，再利用（1）讨论函数最小值： ； ；

试题解析：（1）函数f（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞），

f′（x）=1﹣﹣=，

①当1+a≤0，即a≤﹣1时，

f′（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当1+a＞0，即a＞﹣1时，

x∈（0，1+a）时，f′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，f′（x）＞0；

故f（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；

（2）①当a≤﹣1时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化为

f（1）=1+1+a＜0，

解得，a＜﹣2；

②当﹣1＜a≤0时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化为

f（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；

③当0＜a≤e﹣1时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化为

f（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；

④当e﹣1＜a时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化为

f（e）=e﹣a+＜0，

解得，a＞；

综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．