Question

14．已知两定点M（-1，0），N（1，0），直线l：y=-2x+3，在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义可得，点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，把=-2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由判别式大于0，即可得出结论．

解答 解：由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
把y=-2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，并整理得，19x²-48x+24=0，由△=（-48）²-4×19×24＞0，
∴在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个．
故答案为：2．

点评 本题考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．