Question

4．已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：MN⊥面PCD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线得到线线平行，进一步可证线面平行．，利用线线垂直进一步转化成线面垂直．
（2）利用线面垂直，可证线面垂直，进而利用MN∥AE，即可证明MN⊥CD．
（3）由题意可得∠PDA=45°，进而可证AE⊥PD，由MN∥AE，可证MN⊥PD，进而可证MN⊥面PCD．

解答 解：（1）证明：如图，取PD的中点E，连接AE，NE．
E、N分别为PD，PC的中点，
所以：EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
又M为AB的中点，
所以：AM=$\frac{1}{2}$CD，AM∥CD，
EN∥AM，EN=AM，
所以：四边形AMNE为平行四边形．
MN∥AE，
所以：MN∥平面PAD，
（2）因为：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以：PA⊥CD，
因为：CD⊥AD，AD交PA于A，
所以：CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
所以：CD⊥AE，
因为：MN∥AE，
则：MN⊥CD．
（3）当∠PDA=45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，
则AE⊥PD，
又因为：MN∥AE，
所以：MN⊥PD，PD∩CD=D，
所以：MN⊥面PCD．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．