Question

2．如图所示，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4，曲线段OC是以点O为顶点且对称轴与AB平行的抛物线的一段．设P是曲线段OC上任意一点，点M在AB上，点N在BC上，PMBN是矩形，问点P在曲线段OC上什么位置的时候才能使矩形PMBN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，求得C点坐标，设抛物线方程，将P代入抛物线方程，求得a，求得抛物线方程，求得矩形PMBN的面积S的表达式，求导，根据函数的单调性，当$x=\frac{2}{3}$时，S取得最大值，即$|{PN}|=\frac{32}{9}$，矩形PMBN面积的最大值为$\frac{256}{27}$．

解答 解：以O为原点，AO所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系．依题意，C（2，4），…（2分）
设曲线段所对应的抛物线方程为y=ax²，
∵P在曲线段OC上，
∴4=a×2²，a=1，…（4分）
抛物线方程为y=x²（0≤x≤2），
设P（x，x²）（0≤x≤2）是曲线段上任意一点，则|PM|=x+2，|PN|=4-x²，
所以${S_{PMBN}}=（2+x）（4-{x^2}）=8+4x-2{x^2}-{x^3}（0≤x＜2）$，…（8分）
S'=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），…（10分）
当$-2＜x＜\frac{2}{3}$时，S'＞0；当$x＞\frac{2}{3}$时，S'＜0，
∴在区间$[0\;，\;\frac{2}{3}）$上，S是x的增函数，
在区间$（\frac{2}{3}\;，\;2）$上，S是x的减函数，…（12分）
∴当$x=\frac{2}{3}$时，S取得最大值，此时$|{PN}|=\frac{32}{9}$，…（13分）
即点P在曲线段OC上，到BC的距离为$\frac{32}{9}$时，矩形PMBN面积的最大值为$\frac{256}{27}$．…（14分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．