Question

7．已知函数f（x）=cos²（$\frac{π}{6}-\frac{x}{2}$）-cos²（$\frac{π}{3}+\frac{x}{2}$）．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的单调区间；
（2）设α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），f（α）=1，f（β）=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求f（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简f（x），根据正弦函数的单调性列不等式求出f（x）的单调区间，与[0，π]取交集即可；
（2）根据α，β的范围和f（α），f（β）的值计算cosα，cos（$β+\frac{π}{6}$），利用和角公式计算f（α+β）．

解答 解：（1）$f（x）={cos^2}（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）-{cos^2}（\frac{π}{3}+\frac{x}{2}）={cos^2}（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）-{sin^2}（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）$=$cos（\frac{π}{3}-x）=sin（x+\frac{π}{6}）$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．
[-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ]∩[0，π]=[0，$\frac{π}{3}$]，
∴f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间为[0，$\frac{π}{3}$，]，减区间为：[$\frac{π}{3}$，π]．
（2）∵f（α）=sin（$α+\frac{π}{6}$）=1，
∴$α+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得α=$\frac{π}{3}$+2kπ，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$α=\frac{π}{3}$．
又∵$f（β）=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，即$sin（β+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，∵$β∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$\frac{π}{6}＜β+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
∵$\frac{\sqrt{6}}{4}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜β+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$．
∴cos（$β+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$f（α+β）=sin（α+β+\frac{π}{6}）$=$sinαcos（β+\frac{π}{6}）+cosαsin（β+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{30}+\sqrt{6}}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．