Question

已知点，，动点G满足．
（Ⅰ）求动点G的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知过点且与轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹于P，Q两点．在线段上是否存在点，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的方程是．（Ⅱ）存在，实数m的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知，动点G的轨迹是以，为焦点的椭圆，由题设即可得动点G的轨迹的方程.（Ⅱ）要使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，只需即可．设，则，，由得移项用平方差公式得   ①
设直线的方程为，则，，故①式变形为，然后用韦达定理可得一个与的关系式：，由此关系式可看出，这样的点存在，并由可求出的取值范围.
另外，由于，所以也可利用得：.
试题解析：（Ⅰ）由，且知，动点G的轨迹是以，为焦点的椭圆，设该椭圆的标准方程为，，
由题知，，则，
故动点G的轨迹的方程是． 4分
（Ⅱ）假设在线段上存在，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．直线l与轴不垂直，设直线的方程为，，
由可得．
， ． 6分
，，，其中．
由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
所以，则有， 8分
从而，
所以，
又，则，，
故上式变形为， 10分
将代入上式，得，
即，所以，可知．
故实数m的取值范围是．                   ..13分