Question

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在圆：上.
（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

试题分析：（Ⅰ）由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求。椭圆方程即可求出。因为，则右顶点为，将其代入圆的方程可求半径。（Ⅱ）设出直线方程，然后和椭圆方程联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为是其中一个交点，所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点的坐标，再将其代入圆方程。解出的值。若则说明存在满足条件的直线可求出其方程，若，则说明不存在满足条件的直线。法二：假设存在，由已知可得，因为点为线段的中点，所以，因为点在椭圆上可推导得，与矛盾，故假设不成立。
试题解析：（Ⅰ）由题意可得，                           1分
又由题意可得，
所以，                                          2分
所以,                                  3分
所以椭圆的方程为.                        4分
所以椭圆的右顶点，                            5分
代入圆的方程，可得,
所以圆的方程为.                       6分
（Ⅱ）法1：
假设存在直线:满足条件，              7分
由得          8分
设，则,                         9分
可得中点，                           11分
由点在圆上可得
化简整理得                                      13分
又因为，
所以不存在满足条件的直线.                            14分
（Ⅱ）法2：
假设存在直线满足题意.
由（Ⅰ）可得是圆的直径，                          7分
所以.                                         8分
由点是中点，可得.                   9分
设点，则由题意可得.                 10分
又因为直线的斜率不为0，所以,                  11分
所以,           13分
这与矛盾，所以不存在满足条件的直线.           14分