Question

7．设函数f（x）=log₂$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$（x＞0），若函数g（x）=|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3有三个零点，则实数m的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 可判断函数y=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上单调递增，y=log₂x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；从而解得．

解答 解：当x＞0时，0＜$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$＜2，
且函数y=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上单调递增，
y=log₂x在（0，2）上单调递增，
且y＜1；
故若关于方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，
则|f（x）|=0或0＜|f（x）|＜1，
0＜|f（x）|＜1或|f（x）|≥1；
若|f（x）|=0，则2m+3=0，故m=-$\frac{3}{2}$；
故|f（x）|=0或|g（x）|=$\frac{3}{2}$，不成立；
故0＜|f（x）|＜1或|f（x）|≥1；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}=4（2m+3）＞0}\\{2m+3＞0}\\{1+m+2m+3≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
故实数m的最大值为-$\frac{4}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，考查运算能力，属于中档题．