Question

12．已知奇函数f（x）的定义域为实数集R，且f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞f（0）对所有的θ∈[0，$\frac{π}{2}$]均成立？若存在，求出适合条件的实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可得f（0）=0，原不等式可化为f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），即4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答 解：f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
又f（x）在R上为增函数，
所以原不等式即为f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞0，
即有f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），
∴4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，
即2cos²θ-2mcosθ+4m-4＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：
当t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立．
由2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]，
得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，t∈[0，1]时，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=2-$\sqrt{2}$时，h（t）取得最小值2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$+4）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在这样的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．