Question

19．求证：曲线y=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a为非零常数）上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线方程，求出x，y轴上的截距，运用三角形的面积公式，即可得证．

解答 证明：曲线y=$\frac{{a}^{2}}{x}$的导数为y′=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
在任一点（x₀，y₀）处的切线斜率为-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切点为（x₀，$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$），
则有切线方程：y-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x=0得，y=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
再由y=0，得，x=2x₀，
则与两坐标轴围成的三角形面积是：$\frac{1}{2}$|2x₀•$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$|=2a²为定值．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的点斜式，考查运算能力，属于基础题．