Question

19．若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5＞0\\ 2x+y-7＞0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$内的一个动点，点A坐标为（3，4），O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$的最小值为（　　）

• A． 13
• B． 17
• C． 16
• D． 19

Answer 1

分析 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．根据题意z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=3x+4y，将目标函数z=3x+4y对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．

解答 解：∵点A坐标为（3，4），点M坐标为（x，y）
∴z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=3x+4y，作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5＞0\\ 2x+y-7＞0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域，
得到如图的区域，其中$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，可得A（3，1），
将直线l：z=3x+4y进行平移，可得
当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z_最小值=3×3+4×1=13．
故选：A．

点评 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=3x+4y的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．