Question

4．设α为锐角，若sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，则cos（2α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用整体构造思想，将cos（2α-$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{6}$）+（α-$\frac{π}{3}$）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．

解答 解：∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，$-\frac{π}{3}＜α-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}$．
sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
∵sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$
故$a+\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{3}$，
∴$a＜\frac{π}{6}$．
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$；
又∵$-\frac{π}{3}＜α-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}$，sin（α+$\frac{π}{6}$）=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{6}$）]=cos（α$-\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α$-\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$．
cos（2α-$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{6}$）+（α-$\frac{π}{3}$）]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos（α$-\frac{π}{3}$）-sin（α+$\frac{π}{6}$）sin（α$-\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
故答案为：0．

点评 本题考查两角和与差的公式的运用及计算能力，利用整体构造思想，属于中档题．