Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，如图所示，
①当b=0时，[f（x）]²+af（x）-b²＜0化为[f（x）]²+af（x）＜0，
当a＞0时，-a＜f（x）＜0，
由于关于x的不等式[f（x）]²+af（x）-b²＜0恰有1个整数解，
因此其整数解为3，又f（3）=-9+6=-3，
∴-a＜-3＜0，-a≥f（4）=-8，
则8≥a＞3，
a≤0不必考虑．
②当b≠0时，对于[f（x）]²+af（x）-b²＜0，
△=a²+4b²＞0，
解得：$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}{2}$＜f（x）＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}{2}$，
只考虑a＞0，
则$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}{2}$＜0＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}{2}$，
由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，2），舍去．
综上可得：a的最大值为8．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．