Question

19．已知函数$f（x）=sin（{\frac{π}{2}-x}）sinx-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；
（2）若方程$f（x）=\frac{2}{3}$在（0，π）上的解为x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和差角公式化简f（x），根据正弦函数的性质得出答案；
（2）求出f（x）的对称轴，得出x₁与x₂的关系，利用诱导公式化简即可得出答案．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+2kπ$即x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值1．
（2）由（I）可知f（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称，且f（$\frac{5π}{12}$）=1，
∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，即x₁=$\frac{5π}{6}$-x₂，
∴cos（x₁-x₂）=cos（$\frac{5π}{6}$-2x₂）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$-2x₂）=sin（2x₂-$\frac{π}{3}$）=f（x₂）=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．