Question

7．已知函数f（x）=ax-lnx，其中x＞0，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x＞0，使得f′（x）＞lnx，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；（2）若存在x＞0，使得$a-\frac{1}{x}＞lnx$成立，只需$a＞\frac{1}{x}+lnx$的最小值，根据函数的单调性求出其最小值即可．

解答 解：（1）因为f（x）=ax-lnx，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，x＞0，a∈R，
若a≤0，则${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}＜0$对x＞0恒成立，
所以，此时f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
若a＞0，则${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}＞0$时，$x＞\frac{1}{a}$
所以，f（x）的单调递减区间为$（{0，\frac{1}{a}}）$，单调递增区间为$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
（2）因为${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}$，所以，f′（x）＞lnx，即$a-\frac{1}{x}＞lnx$
若存在x＞0，使得$a-\frac{1}{x}＞lnx$成立，只需$a＞\frac{1}{x}+lnx$的最小值
设$g（x）=lnx+\frac{1}{x}$，则${g^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}＞0$时，x＞1
所以g（x）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增，
所以x=1时，g（x）取最小值g（1）=1，
所以a＞1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．