Question

12．设$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，则a、b、c的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． b＞c＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 法一：构造函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$，通过讨论g（x）的单调性求出a，b，c的大小，
法二：$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，分别看作函数y=lnx上A，B，C点与原点的斜率，问题得以解决．

解答 解：法一：设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
而5＞4＞3＞e，
∴g（5）＜g（4）＜g（3），
即$\frac{ln5}{5}$＜$\frac{ln4}{4}$＜$\frac{ln3}{3}$，
∴a＞b＞c，故选：A；
法二：$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，
分别看作函数y=lnx上A，B，C点与原点的斜率，
由图象可知，k_OA＞k_OB＞k_OC，
∴a＞b＞c，
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性问题，构造函数g（x）是解题的关键，也可画出图象，利用直线的斜率，来比较大小，属于基础题．