题目内容
7．等差数列{an}中，a2=2，数列{bn}中，bn=2${\;}^{{a}_{n}}$，b4=4b2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若a2b1-a1b1+a3b2-a2b2+…+an+1bn-anbn≤2017，求n的最大值．
分析 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，先判断{bn}为等比数列，根据条件求出公比和公差，从而可求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=a2b1-a1b1+a3b2-a2b2+…+an+1bn-anbn=b1+b2+…+bn，根据等比数列的求和公式得到2n+1-2≤2017，解得即可．
解答 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵bn=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴bn-1=${2}^{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=${2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2d，
∴数列{bn}为等比数列，
设公比为q，则q=2d，
∵b4=4b2，
∴q=2或q=-2（舍去），
∴d=1，
∴a1=a2-d=2-1=1，
∴an=n，
∴bn=2n，
（Ⅱ）设Tn=a2b1-a1b1+a3b2-a2b2+…+an+1bn-anbn，
=b1（a2-a1）+b2（a3-a2）+…+bn（an+1-an），
=b1+b2+…+bn，
=2+22+…+2n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2n+1-2
∵a2b1-a1b1+a3b2-a2b2+…+an+1bn-anbn≤2017，
∴2n+1-2≤2017，
∴2n+1≤2019＜211，
∴n+1＜11，
∴n＜10，
∴n的最大值9．
点评 本题考查数列的通项，考查数列的求和，确定数列中的基本量，属于中档题
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